Получено точное, зависящее от времени решение для волновой функции частицы $\psi(r, t)$, движущейся в присутствии асимметричного прямоугольного потенциала (барьера или ямы), изменяющегося в одном измерении. Использован новый для этой проблемы подход, основанный на теории многократного рассеяния (ТМР), для вычисления пространственно-временного пропагатора. Этот подход, базирующийся на найденных эффективных потенциалах, локализованных на скачках потенциала и ответственных за отражение от потенциала и прохождение через него, позволяет рассмотреть эти процессы, скорее с точки зрения динамики частицы, чем волны. Полученное решение описывает данные квантовые процессы как функцию времени и связано с фундаментальными проблемами квантовой механики (такими как измерение времени) и с кинетической теорией наноструктур. Последнее обусловлено тем, что рассмотренный потенциал может моделировать спин-зависящий потенциальный профиль в магнитных многослойных структурах, используемых в устройствах спинтроники. Решение представлено в виде интегралов от элементарных функций и представляет собой сумму вперёд и обратно движущихся компонент волнового пакета. Рассмотрен и численно визуализирован относительный вклад этих компонент и их интерференции, а также асимметричности потенциала в плотность вероятности $|\psi(r, t)|^{2}$ и во время жизни частицы в области потенциала в случаях узкого и широкого по энергии (импульсу) распределения начального гауссовского волнового пакета. Показано, что в случае широкого начального волнового пакета квантово-механический парадоксальный (и часто не принимаемый во внимание) эффект влияния обратно движущихся компонент пакета на рассмотренные свойства становится существенным. Влияние асимметрии потенциала в этом случае также может быть более выраженным.