Потенциостатическим методом исследовано влияние внешнего постоянного магнитного поля на морфологию наноразмерных кластеров, полученных магнитоэлектролизом водного раствора CuSO$_4$ во внешнем магнитном поле величиной до 0,31 T. Установлено, что морфология полученных осадков существенно изменяется приложенным магнитным полем. В нулевом поле осаждённые кластеры не имеют выделенных направлений роста, в то время как в ненулевом магнитном поле появляется преимущественное направление роста как при магнитном поле, ориентированном перпендикулярно электрическим токовым линиям, так и при их параллельной ориентации. Наблюдаемые разветвлённые структуры осадков имеют фрактальную структуру, фрактальная размеренность которой зависит от величины и ориентации магнитного поля. Наблюдаемые эффекты могут быть объяснены магнитогидродинамической (МГД) конвекцией, вызванной действием силы Лоренца, которая влияет на естественную конвекцию, вызванную градиентом концентрации в электролите в околокатодном пространстве как вдоль, так и поперёк поверхности электрода. Таким образом, наноразмерные объекты различной структуры (определяемой магнитным полем) и размера (определяемого временем электролиза) могут быть получены контролируемым образом. Ещё одно явление, обнаруженное в данной работе, а именно, изменение знака разности потенциалов между верхним и нижним зондами при увеличении магнитного поля, свидетельствует о сопутствующем изменении знака градиента концентрации вдоль поверхности катода. Это позволяет объяснить влияние магнитного поля в случае параллельной ориентации (где не действуют силы Лоренца) взаимным влиянием МГД-эффектов и диффузии вдоль поверхности электрода.